中学知识：勾股数的3条规律总结

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。那么勾股数有什么规律吗？下面和小编一起了解一下吧，供大家参考。

1、第一组勾股数

3，4，5

5，12，13

7，24，25

9，40，41

11，60，61

13，84，85

15，112，113

首先发现其最小值为奇数，而另外两数是延续正整数。

我们用乘方进行尝试。先给临时没看出关系的最小值进行乘方。

3²=9，5²=25，7²=49

大家有没有发现，在第一列数据中，每组数的较大两数之和正好等于这组数最小值的平方。即：

3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25

我们再试几组进行验证。

9²=81=40+41，11²=121=60+61

目前看来这个规律是正确的。我们再次注意到开始时发现的规律：第一列中每组数较大两数差为一。那么总结这两点就可初步发现以下规律：

一个正奇数(除1外)与两个和等于此正奇数平方的延续正整数是一组勾股数。

设n为一正奇数(n≠1)，那么以n为最小值的一组勾股数可以是:n，(n²-1)/2，(n²+1)/2。

2、第二组勾股数

6，8，10

8，15，17

10，24，26

12，35，37

14，48，50

16，63，65

18，80，82

我们如法炮制，首先发现第二组数据均以偶数为最小数，而另外两数是差为2的正整数。似乎也只能看出这么多，那我们继续用最小数乘方对比另外两数之和进行尝试。

6²=36，10+8=18

8²=64，15+17=32

10²=100，24+26=50

这次好像是后两数之和的二倍等于最小数平方？我们进行更多尝试。

12²=144=2(35+37)，14²=196=2(48+50)

初步看来规律正确，那我们还是用代数式验证一下普遍性吧：

设m为一正偶数(m≠0,m≠2,m≠4)，那么以m为最小值的一组勾股数可以是：

m，(m²/4)-1，(m²/4)+1

验证：[(m²/4)+1]²-[(m²/4)-1]²

=[(m²/4)²+m²/2+1]-[(m²/4)²-m²/2+1]

=(m²/4)²+m²/2+1-(m²/4)²+m²/2-1

=m²

验证成功，可总结为以下规律：

当一个正偶数为最小值时，它(除0,2和4)与两个和之二倍等于此正偶数平方的差为一的正整数是一组勾股数。

设m为一正偶数(m≠0,m≠2,m≠4)，那么以m为最小值的一组勾股数可以是：m，(m²/4)-1，(m²/4)+1。

3、特别的勾股数规律

①12，16，20②18，24，30

首先根据勾股定理可以推断它们都是勾股数。但是仔细观察，我们发现它们每组的三个数都是一组勾股数的正整数倍。

3，4，5分别乘4得12，16，20

6，8，10分别乘3得18，24，30

一组勾股数的正整数倍也是一组勾股数吗？我们还是用代数式验证一下：

任意一组勾股数的正整数倍也是一组勾股数吗？我们还是用代数式验证一下：

设a²+b²=c²，则a，b，c分别乘n后为:

(na)²+(nb)²

=n²a²+n²b²

=n²(a²+b²)

=n²c²

=(nc)²

总结规律为一组勾股数的正整数倍还是一组勾股数。