您的位置:首页>综合动态>

中学知识:勾股数的3条规律总结

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。那么勾股数有什么规律吗?下面和小编一起了解一下吧,供大家参考。

1、第一组勾股数

3,4,5

5,12,13

7,24,25

9,40,41

11,60,61

13,84,85

15,112,113

首先发现其最小值为奇数,而另外两数是延续正整数。

我们用乘方进行尝试。先给临时没看出关系的最小值进行乘方。

3²=9,5²=25,7²=49

大家有没有发现,在第一列数据中,每组数的较大两数之和正好等于这组数最小值的平方。即:

3²=9=4+5,5²=25=12+13,7²=49=24+25

我们再试几组进行验证。

9²=81=40+41,11²=121=60+61

目前看来这个规律是正确的。我们再次注意到开始时发现的规律:第一列中每组数较大两数差为一。那么总结这两点就可初步发现以下规律:

一个正奇数(除1外)与两个和等于此正奇数平方的延续正整数是一组勾股数。

设n为一正奇数(n≠1),那么以n为最小值的一组勾股数可以是:n,(n²-1)/2,(n²+1)/2。

2、第二组勾股数

6,8,10

8,15,17

10,24,26

12,35,37

14,48,50

16,63,65

18,80,82

我们如法炮制,首先发现第二组数据均以偶数为最小数,而另外两数是差为2的正整数。似乎也只能看出这么多,那我们继续用最小数乘方对比另外两数之和进行尝试。

6²=36,10+8=18

8²=64,15+17=32

10²=100,24+26=50

这次好像是后两数之和的二倍等于最小数平方?我们进行更多尝试。

12²=144=2(35+37),14²=196=2(48+50)

初步看来规律正确,那我们还是用代数式验证一下普遍性吧:

设m为一正偶数(m≠0,m≠2,m≠4),那么以m为最小值的一组勾股数可以是:

m,(m²/4)-1,(m²/4)+1

验证:[(m²/4)+1]²-[(m²/4)-1]²

=[(m²/4)²+m²/2+1]-[(m²/4)²-m²/2+1]

=(m²/4)²+m²/2+1-(m²/4)²+m²/2-1

=m²

验证成功,可总结为以下规律:

当一个正偶数为最小值时,它(除0,2和4)与两个和之二倍等于此正偶数平方的差为一的正整数是一组勾股数。

设m为一正偶数(m≠0,m≠2,m≠4),那么以m为最小值的一组勾股数可以是:m,(m²/4)-1,(m²/4)+1。

3、特别的勾股数规律

①12,16,20②18,24,30

首先根据勾股定理可以推断它们都是勾股数。但是仔细观察,我们发现它们每组的三个数都是一组勾股数的正整数倍。

3,4,5分别乘4得12,16,20

6,8,10分别乘3得18,24,30

一组勾股数的正整数倍也是一组勾股数吗?我们还是用代数式验证一下:

任意一组勾股数的正整数倍也是一组勾股数吗?我们还是用代数式验证一下:

设a²+b²=c²,则a,b,c分别乘n后为:

(na)²+(nb)²

=n²a²+n²b²

=n²(a²+b²)

=n²c²

=(nc)²

总结规律为一组勾股数的正整数倍还是一组勾股数。

感谢阅读,以上就是勾股数的3条规律总结的相关内容。希翼为大家整理的这篇勾股数的3条规律总结内容能够解决你的困惑。

免责声明:本文由用户上传,如有侵权请联系删除!