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中学知识:勾股定理的证明方法有多少种

勾股定理的证明方法有16种,但是路明思(Elisha Scott Loomis)的Pythagorean Proposition(《毕达哥拉斯命题》)一书中总共提到367种证明方式。其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。下面就和小编了解一下最简单的集中证明方法吧,供大家参考。

勾股定理的证明方法有多少种

证法1(梅文鼎证明)

作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.

∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD

∴∠EGF=∠BED

∵∠EGF+∠GEF=90°

∴∠BED+∠GEF=90°

∴∠BEG=180°―90°=90°

又∵AB=BE=EG=GA=c

∴ABEG是一个边长为c的正方形

∴∠ABC+∠CBE=90°

∵RtΔABC≌RtΔEBD

∴∠ABC=∠EBD

∴∠EBD+∠CBE=90°

即∠CBD=90°

又∵∠BDE=90°,∠BCP=90°

BC=BD=a.

∴BDPC是一个边长为a的正方形

同理,HPFG是一个边长为b的正方形

设多边形GHCBE的面积为S,则

a^2+b^2=c^2

证法2(项明达证明)

作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC,交AC于点P

过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点

F作FN⊥PQ,垂足为N.

∵∠BCA=90°,QP∥BC

∴∠MPC=90°

∵BM⊥PQ

∴∠BMP=90°

∴BCPM是一个矩形,即∠MBC=90°

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=°

∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°

∴∠QBM=∠ABC

又∵∠BMP=90°,∠BCA=90°,BQ=BA=c

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA

同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2

证法3(赵浩杰证明)

作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,

∵EF=DF-DE=b-a,EI=b

∴FI=a

∴G,I,J在同向来线上

∵CJ=CF=a,CB=CD=c

∠CJB=∠CFD=90°

∴RtΔCJB≌RtΔCFD

同理,RtΔABG≌RtΔADE

∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ

∵∠BCJ+∠CBJ=90°

∴∠ABG+∠CBJ=90°

∵∠ABC=90°

∴G,B,I,J在同向来线上

所以a^2+b^2=c^2

证法4(欧几里得证明)

作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结。

BF、CD.过C作CL⊥DE

交AB于点M,交DE于点L

∵AF=AC,AB=AD

∠FAB=∠GAD

∴ΔFAB≌ΔGAD

∵ΔFAB的面积等于ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半

∴矩形ADLM的面积=

同理可证,矩形MLEB的面积=

∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴即a的平方+b的平方=c的平方

证法5(邹元治证明)

以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角1ab2形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.

∵RtΔHAE≌RtΔEBF

∴∠AHE=∠BEF

∵∠AEH+∠AHE=90o

∴∠AEH+∠BEF=90o

∴∠HEF=180o―90o=90o

∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2

∵RtΔGDH≌RtΔHAE

∴∠HGD=∠EHA

∵∠HGD+∠GHD=90o

∴∠EHA+∠GHD=90o

又∵∠GHE=90o

∴∠DHA=90o+90o=180o

∴ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于(a+b)²

∴(a+b)²=4x1/2ab+c²

∴a²+b²=c²

感谢阅读,以上就是勾股定理的证明方法有多少种的相关内容。希翼为大家整理的这篇勾股定理的证明方法有多少种内容能够解决你的困惑。

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