重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。(等边三角形)重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
证明:已知:△ABC,E、F是AB,AC的中点。EC、FB交于G。
求证:EG=1/2CG
证明:过E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE,EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明方法:
在△ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知:
OA'=1/3AA'
OB'=1/3BB'
OC'=1/3CC'
过O,A分别作a边上高OH',AH
可知OH'=1/3AH
则,S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC
同理可证S△AOC=1/3S△ABC
S△AOB=1/3S△ABC
所以,S△BOC=S△AOC=S△AOB
3、三角形内到三边距离之积最大的点。
证明:点P是△ABC内的一点,连接PA,PB,PC,作点P到BC、AC、AB的垂线段,垂足分别为D、E、F,延长AP交BC于M。记△ABC的面积为S,BC为a,AC为b,AB为c,PD为a',PE为b',PF为c'。
∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S
∴aa'+bb'+cc'=2S
由均值不等式知,[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c'),当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。
∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(S/3)^3/(abc)=8S^3/(27abc),当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。
∴a'b'c'惟独当aa'=bb'=cc'时才会取得最大值。
此时,S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP,由燕尾定理知,BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。
∴此时BM=CM,M是BC的中点,AM是△ABC的中线,P在△ABC中BC边的中线上。
同理可证此时P在△ABC中AB、AC边的中线上。
∴当a'b'c'最大时,P是△ABC的重心,即重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
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