中学知识：勾股数的3条规律

勾股数的3条规律:1、凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。2、在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个延续的正整数之和。3、在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个延续整数之和的二倍。

规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现：

由（3，4，5）有：32=9=4+5；

由（5，12，13）有：52=25=12+13；

由（7，24，25）有：72=49=24+25；

由（9，40，41）有：92=81=40+41。

即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个延续的正整数之和。因此，我们把它推广到一般，从而可得出以下公式：

∵（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1）

∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2（n为正整数）

勾股数公式一：（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）（n为正整数）。

规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现：

由（6，8，10）有：62=36=2×（8+10）；

由（8，15，17）有：82=64=2×（15+17）；

由（10，24，26）有：102=100=2×（24+26）；

即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个延续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：

∵（2n）2=4n2=2[（n2-1）+（n2+1）]

∴（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2（n≥2且n为正整数）

勾股数公式二：（2n，n2-1，n2+1）（n≥2且n为正整数）。