中学知识：初中三角形中线定理

中线定理，又称重心定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。初中三角形中线定理是指三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边的平方的一半加上这条中线的平方的2倍。

如图，在△ABC中，AI为BC边上的中线。求证：AB²+AC²=1/2(BC)²+2AI²

以BC的中点I为原点，直线BC为x轴，射线IC方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(-a，0)，则C点坐标为(a，0)。

过A点做AD⊥x轴交x轴于点D，AE⊥y轴交y轴于点E，则D(m，0)，E(0，n)。

由勾股定理可得

AO²=m²+n²,

中线定理的证明

中线定理的证明

AB²=(a-m)²+n²=a²-2am+m²+n²,

AC²=(a+m)²+n²=a²+2am+m²+n².

∴AB²+AC²=a²+2am+m²+n²+a²-2am+m²+n²

=2a²+2m²+2n²=2a²+2(m²+n²)

又∵AO²=m²+n²,

∴AB²+AC²=2a²+2AO²

又∵B(-a，0)，C(a，0),

∴a=BC

∴a²=BC²

∴2a²=2·BC²=BC²

∴AB²+AC²=BC²+2AO²=BC²+2AI²。

如图，AI是△ABC的中线，AH是

高线。利用勾股定理来证明。

在Rt△ABH中，有AB²=AH²+BH²

同理，有AI²=AH²+HI²，AC²=AH²+CH²

并且BI=CI

那么，AB²+AC²

=2AH²+BH²+CH²

=2(AI²-HI²)+(BI-IH)²+(CI+IH)²

=2AI²-2HI²+BI²+IH²-2BI×IH+CI²+IH²+2CI×IH

=2AI²+2BI²